時間：2022-10-09 01:10:56
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（一）知識教學(xué)點：1．使學(xué)生了解一元二次方程及整式方程的意義；2．掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．
（二）能力訓(xùn)練點：1．通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力；2．通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對概念理解的完整性和深刻性．
（三）德育滲透點：由知識來源于實際，樹立轉(zhuǎn)化的思想，由設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想方法，由此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識．
二、教學(xué)重點、難點
1．教學(xué)重點：一元二次方程的意義及一般形式．
2．教學(xué)難點：正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
1．用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程．學(xué)生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎(chǔ)，同時培養(yǎng)學(xué)生手、腦、眼并用的能力．
2．現(xiàn)有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那么應(yīng)該怎樣求出截去的小正方形的邊長？
教師啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)、列方程，經(jīng)整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，說明所學(xué)知識不夠用，需要學(xué)習(xí)新的知識，學(xué)了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題．
板書：“第十二章一元二次方程”．教師恰當(dāng)?shù)恼Z言，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣．
（二）整體感知
通過章前引例和節(jié)前引例，使學(xué)生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務(wù)，學(xué)習(xí)了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義；產(chǎn)生用數(shù)學(xué)的意識，調(diào)動學(xué)生積極主動參與數(shù)學(xué)活動中．同時讓學(xué)生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位．
（三）重點、難點的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
（1）什么叫做方程？曾學(xué)過哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？
（3）什么叫做分式方程？
問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊．
2．引例：剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪？
引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念．
整式方程：方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，這樣的方程稱為整式方程．
一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個未知數(shù)”，“二次”指的是“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”．“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎(chǔ)．一元二次方程的定義是指方程進行合并同類項整理后而言的．這實際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟：首先要進行合并同類項整理，再按定義進行判斷．
3．練習(xí)：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；
（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
（3）
（4）6x2＝x；
（5）2x2＝5y；
（6）-x2＝0
4．任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式．
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．a(chǎn)x2稱二次項，bx稱一次項，c稱常數(shù)項，a稱二次項系數(shù)，b稱一次項系數(shù)．
一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解．
5．例1把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項？
教師邊提問邊引導(dǎo)，板書并規(guī)范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．
6．練習(xí)1：教材P．5中1，2．要求多數(shù)學(xué)生在練習(xí)本上筆答，部分學(xué)生板書，師生評價．題目答案不唯一，最好二次項系數(shù)化為正數(shù)．
練習(xí)2：下列關(guān)于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．
8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．
教師提問及恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，對學(xué)生回答給出評價，通過此組練習(xí)，加強對概念的理解和深化．
（四）總結(jié)、擴展
引導(dǎo)學(xué)生從下面三方面進行小結(jié)．從方法上學(xué)到了什么方法？從知識內(nèi)容上學(xué)到了什么內(nèi)容？分清楚概念的區(qū)別和聯(lián)系？
1．將實際問題用設(shè)未知數(shù)列方程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體會知識來源于實際以及轉(zhuǎn)化為方程的思想方法．
2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．歸納所學(xué)過的整式方程．
3．一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區(qū)別和聯(lián)系．強調(diào)“a≠0”這個條件有長遠的重要意義．
四、布置作業(yè)
1．教材P．6練習(xí)2．
2．思考題：
1）能不能說“關(guān)于x的整式方程中，含有x2項的方程叫做一元二次方程？”
2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學(xué)有余力的學(xué)生思考）．
五、板書設(shè)計
第十二章一元二次方程12．1用公式解一元二次方程
1．整式方程：……4．例1：……
2．一元二次方程……：……
3．一元二次方程的一般形式：
……5．練習(xí)：……
…………
六、課后習(xí)題參考答案
教材P．6A2．
教材P．6B1、2．
1．（1）二次項系數(shù)：ab一次項系數(shù)：c常數(shù)項：d．
（2）二次項系數(shù)：m-n一次項系數(shù)：0常數(shù)項：m＋n．
2．一般形式：（m＋n）x2+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）二次項系數(shù)：m＋n，一次項系數(shù)：m－n，常數(shù)項：p－q．
思考題
（一）知識教學(xué)點：
1．熟練地運用公式法解一元二次方程，掌握近似值的求法．
2．能用公式解關(guān)于字母系數(shù)的一元二次方程．
（二）能力訓(xùn)練點：培養(yǎng)學(xué)生快速準(zhǔn)確的計算能力．
（三）德育滲透點：
1．向?qū)W生滲透由一般到特殊，再由特殊到一般的認識問題和解決問題的方法．
2．滲透分類的思想．
二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法
1．教學(xué)重點：用公式法解一元二次方程．
2．教學(xué)難點：在解關(guān)于字母系數(shù)的一元二次方程中注意判斷b2－4ac的正負．
3．教學(xué)疑點：對于首項系數(shù)含有字母的方程的解要注意分類討論．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
公式法是解一元二次方程的通法，利用公式法不僅可以求得方程中x的準(zhǔn)確值，也可以求得近似值，不僅可以解關(guān)于數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，還可以求解關(guān)于字母系數(shù)的一元二次方程．
（二）整體感知
這節(jié)內(nèi)容是上節(jié)內(nèi)容的繼續(xù)，繼續(xù)利用一元二次方程的求根公式求一元二次方程的解．但在原來的基礎(chǔ)上有所深化，會進行近似值的計算，對字母系數(shù)的一元二次方程如何用公式法求解．由此向?qū)W生滲透由一般到特殊，再由特殊到一般的認識問題和解決問題的方法，通過字母系數(shù)一元二次方程的求解，滲透分類的思想，為方程根的存在情況的討論等打下堅實的基礎(chǔ)．
（三）重點，難點的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
（1）寫出一元二次方程的一般形式及求根公式．
一般式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
（2）說出下列方程中的a、b、c的值．
①x2-6＝9x；
②3x2＋4x＝7；
③x2＝10x-24；
通過以上練習(xí)，為本節(jié)課順利完成任務(wù)奠定基礎(chǔ)．
2．例1解方程x2＋x-1＝0（精確到0.01）．
解：a＝1，b＝1，c＝-1，
對于近似值的求法，一是注意要求，要求中有精確0.01，有保留三位有效數(shù)字，有精確到小數(shù)點第三位．二是在運算過程中精確的位數(shù)要比要求的多一位．三是注意有近似值要求就按要求求近似值，無近似值要求求準(zhǔn)確值．練習(xí)：用公式法解方程x2＋3x-5＝0（精確到0.01）
學(xué)生板演、評價、練習(xí)．深刻體會求近擬值的方法和步驟．例2解關(guān)于x的方程x2-m（3x-2m＋n）-n2＝0．
分析：解關(guān)于字母系數(shù)的方程時，一定要把字母看成已知數(shù)．解：展開，整理，得
x2-3mx＋2m2-nm-n2＝0．
a＝1，b＝-3m，c＝2m2-mn-n2，
又b2-4ac＝（-3m）2-4×1×（2m2-mn-n2），
＝（m＋2n）2≥0
x1＝2m+n，x2＝m-n．
分析過程，b2-4ac＝（m＋2n）2≥0，此式中的m，n取任何實
詳細變化過程是：
練習(xí)：1．解關(guān)于x的方程2x2-mx-n2＝0．
解：a=2，b=-m，c=-n2
b2-4ac＝（-m）2-4×2（-n2）
＝m2+8n2≥0，
學(xué)生板書、練習(xí)、評價，體會過程及步驟的安排．
練習(xí)：2．解：于x的方程abx2-（a4＋b4）x＋a3b3＝0（ab≠0）．
解：A＝ab，B＝-a4-b4，C＝a3b3
B2-4AC＝（-a4-b4）2-4ab•a3b3
＝（a4＋b4）2-4a4b4
＝（a4-b4）2≥0
學(xué)生練習(xí)、板書、評價，注意（a4＋b4）2-4a4b4＝（a4-b4）2的變化過程．注意ab≠0的條件．
練習(xí)3解關(guān)于x的方程（m＋n）x2＋（4m-2n）x＋n-5m＝0．
分析：此方程的字母沒有任何限制，則m，n為任何實數(shù)．所以此方程不一定是一元二次方程，因此需分m＋n＝0和m＋n≠0兩種情況進行討論．
解：（1）當(dāng)m＋n＝0且m≠0，n≠0時，原方程可變?yōu)?/p>
（4m＋2m）x-m-5m＝0．
m≠0解得x＝1，
（2）當(dāng)m＋n≠0時，
a＝m＋n，b＝4m-2n，c＝n-5m，
b2-4ac=（4m-2n）2-4（m＋n）（n-5m）＝36m2≥0．
通過此題，在加強練習(xí)公式法的基礎(chǔ)上，滲透分類的思想．
（四）總結(jié)、擴展
1．用公式法解一元二次方程，要先確定a、b、c的值，再確定b2－4ac的符號．
2．求近似值時，要注意精確到多少位？計算過程中要比運算結(jié)果精確的位數(shù)多1位．
3．如果含有字母系數(shù)的一元二次方程，首先要注意首項系數(shù)為不為零，其次如何確定b2－4ac的符號．
四、布置作業(yè)
教材P．14練習(xí)2．
教材P．15中A：5、6、7、8。
五、板書設(shè)計
12．1一元二次方程的解法（五）
一元二次方程的一般形式及求根公式例1．……例2．……
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)…………
練習(xí)．……
六、作業(yè)參考答案
教材P．14
教材P．15A：5（1）x1≈4.54，x2≈-1.54
（2）x1≈3.70x2≈0.54
6、（1）x1＝3，x2＝-3；
（2）x1＝7，x2＝3；
（4）x1＝-29，x2＝21；
教材P．17B4
解：由題得3x2＋6x-8＝2x2-1
（一）知識教學(xué)點：1．正確理解并會運用配方法將形如x2＋px＋q＝0方程變形為（x＋m）2＝n（n≥0）類型．2．會用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．3．了解新、舊知識的內(nèi)在聯(lián)系及彼此的作用．
（二）能力訓(xùn)練點：培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確、快速的計算能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰σ约坝^察、比較、分析問題的能力．
（三）德育滲透點：通過本節(jié)課，繼續(xù)體會由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想方法，滲透配方法是解決某些代數(shù)問題的一個很重要的方法．
二、教學(xué)重點、難點和疑點
1．教學(xué)重點：用配方法解一元二次方程．
2．教學(xué)難點：正確理解把x2＋ax型的代數(shù)式配成完全平方式——將代數(shù)式x2＋ax加上一次項系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化成完全平方式．
3．教學(xué)疑點：配方法可以解決許多代數(shù)問題，例如：因式分解，將一個代數(shù)式配成完全平方式等等，本節(jié)課傳授的是用配方法解一元二次方程．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
學(xué)習(xí)了直接開平方法解一元二次方程，對形如（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，c≥0）的一元二次方程便會求解．如果給出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎樣求解呢？這就是我們本節(jié)課所要研究的問題．將x2＋2x＝3轉(zhuǎn)化為（ax＋b）2＝c型是我們本節(jié)課一個重要的突破點，攻克此難關(guān)，方程的求解問題便迎刃而解了．
（二）整體感知
本節(jié)課在直接開平方法的基礎(chǔ)上引進了配方法，實現(xiàn)由未知向已知的轉(zhuǎn)化．直接開平方法在本節(jié)課中起到了一個承上啟下的作用．它為配方法的引入做了很好的鋪墊．如果說平方根的概念為一元二次方程解法的引進立下了汗馬功勞，那么可以說直接開平方法為其他方法的引進作了堅實的鋪墊．
配方法是初中代數(shù)中解決某些代數(shù)問題的一個常用方法，方法的實質(zhì)是將代數(shù)式x2＋ax配成一個完全平方式，它的理論依據(jù)是完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
（三）重點、難點的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
（1）完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
（2）填空：
1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2
2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2
2．引例：將方程x2-2x-3=0化為（x-m）2=n的形式，指出m，n分別是多少？
解：移項，得x2－2x＝3．
配方，得x2-2x＋12＝3＋12．
（x-1）2＝4．
m＝-1，n＝4．
對于x2+ax型的代數(shù)式，只需再加上一次項系數(shù)一半的平方即可完成上述轉(zhuǎn)化工作．
練習(xí)：把下列方程化為（x＋m）2＝n的形式
上述練習(xí)，深化配方的過程，為配方法的引入作鋪墊．
3．例1解方程x2－4x－2＝0．
解：移項，得x2－4x＝2……第一步
配方，得x2－4x＋（-2）2＝2＋（-2）2……第二步
（x－2）2＝6．
教師引導(dǎo)、板演，學(xué)生回答．分析解方程的步驟，第一步是移項，將含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項移到方程的另一邊．第二步是配方，方程的兩邊同時加上二次項系數(shù)一半的平方，進行這一步的理論依據(jù)是等式的基本性質(zhì)和完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2，第三步是用直接開平方法求解．此時，向?qū)W生點明：這種解一元二次方程的方法稱為配方法．
學(xué)生練習(xí)、板演、評價，深刻體會配方法的步驟，通過配方，方程進行了形式上的轉(zhuǎn)化，并且體會為什么先學(xué)直接開平方法，它是配方法的基礎(chǔ)，要注意體會推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、步驟的完整性，剛開始配方的過程要細，不要跳步，避免出錯．
例2解方程：2x2＋3＝5x．
解：移項，得：2x2-5x＋3＝0，
例2中方程的特點和例1不同的是，例2的二次項系數(shù)不是1．因此要想配方，必須化二次項系數(shù)為1．對一元二次方程ax2＋bx＋c＝0用配方法求解的步驟是：
第一步：化二次項系數(shù)為1；
第二步：移項；
第三步：配方；
第四步：用直接開平方法求解．
練習(xí)：1．P．12中2（3）（4）．
2．解方程（1）6x－x2＝63（2）9x2－6x＋1＝0．
學(xué)生練習(xí)板演，師生共同評價．對于練習(xí)2（2）解方程9x2＋6x＋1＝0．
解法（二）原方程可整理為（3x－1）2＝0．
3x－1＝0．
比較上面兩種方法，讓學(xué)生體會方法（一）是通法，有時用起來麻煩．方法（二）是據(jù)方程的特點所采用的特殊的方法，較方法（一）簡捷，明快．可告誡學(xué)生學(xué)習(xí)不要機械死板，在熟練掌握通法的基礎(chǔ)上，據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點靈活地選擇簡單的方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用的能力．
通過以上練習(xí)，讓學(xué)生能悟出配方法可以解任意結(jié)構(gòu)特點的一元二次方程，它是解一元二次方程的通法．
（四）總結(jié)、擴展
引導(dǎo)學(xué)生從所學(xué)知識、方法上進行小結(jié)．
1．本節(jié)課學(xué)習(xí)用配方法解一元二次方程，其步驟如下：
（1）化二次項系數(shù)為1．
（2）移項，使方程左邊為二次項，一次項，右邊為常數(shù)項．
（3）配方．依據(jù)等式的基本性質(zhì)和完全平方公式，在方程的左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
（4）用直接開平方法求解．
配方法的關(guān)鍵步驟是配方．配方法是解一元二次方程的通法．
2．配方法的理論依據(jù)是完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2，配方法以直接開平方法為基礎(chǔ)．
3．要學(xué)會通過觀察、比較、分析去發(fā)現(xiàn)新舊知識的聯(lián)系，以舊引新，學(xué)會化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想方法，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識．
四、布置作業(yè)
教材P．15中3．
五、板書設(shè)計
12．1用公式解一元二次方程（三）
1．配方法的理論依據(jù)例1解方程x2-4x-2＝0
a2±2ab＋b2＝（a±b）2解：……
2．配方法的步驟……
（1）……例2解方程2x2-3＝5x
（2）……解：……
（3）…………
（4）……練習(xí)1……
練習(xí)2……
六、作業(yè)參考答案
教材P．15中3．
（1）x1=-2，x2＝-4
（2）x1＝-6，x2＝2
（一）知識教學(xué)點：1．正確理解因式分解法的實質(zhì)．2．熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程．
（二）能力訓(xùn)練點：通過新方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力及探索精神．
（三）德育滲透點：通過因式分解法的學(xué)習(xí)使學(xué)生樹立轉(zhuǎn)化的思想．
二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法
1．教學(xué)重點：用因式分解法解一元二次方程．
式）
3．教學(xué)疑點：理解“充要條件”、“或”、“且”的含義．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
學(xué)習(xí)了公式法，便可以解所有的一元二次方程．對于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果轉(zhuǎn)化為一般形式，利用公式法就比較麻煩，如果轉(zhuǎn)化為x－2＝0或x＋3＝0，解起來就變得簡單多了．即可得x1＝2，x2＝-3．這種解一元二次方程的方法就是本節(jié)課要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．
（二）整體感知
所謂因式分解，是將一個多項式分解成幾個一次因式積的形式．如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項式，而右邊為零．用因式分解法更為簡單．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，這樣就將原來的一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，方程便易于求解．可以說二次三項式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的關(guān)鍵．“如果兩個因式的積等于零，那么兩個因式至少有一個等于零”是因式分解法解方程的理論依據(jù)．方程的左邊易于分解，而方程的右邊等于零是因式分解法解方程的條件．滿足這樣條件的一元二次方程用因式分解法最簡單．
（三）重點、難點的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
零，那么這兩個因式至少有一個等于零．反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零．
“或”有下列三層含義
①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0
2．例1解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可變形x（x＋2）＝0……第一步
x＝0或x＋2＝0……第二步
x1=0，x2=-2．
教師提問、板書，學(xué)生回答．
分析步驟（一）第一步變形的方法是“因式分解”，第二步變形的理論根據(jù)是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零”．分析步驟（二）對于一元二次方程，一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次式時，可以得到兩個一元一次方程，這兩個一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此種方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步實現(xiàn)了由二次向一次的“轉(zhuǎn)化”，達到了“降次”的目的，解高次方程常用轉(zhuǎn)化的思想方法．
例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．
解：原方程可變形為（x＋5）（x-3）＝0．
得，x＋5＝0或x-3＝0．
x1＝-5，x2＝3．
教師板演，學(xué)生回答，總結(jié)因式分解的步驟：（一）方程化為一般形式；（二）方程左邊因式分解；（三）至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程；（四）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．
練習(xí)：P．22中1、2．
第一題學(xué)生口答，第二題學(xué)生筆答，板演．
體會步驟及每一步的依據(jù)．
例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．
解：原方程可變形為（x-2）（3-x）＝0．
x-2＝0或3-x＝0．
x1＝2，x2＝3．
教師板演，學(xué)生回答．
此方程不需去括號將方程變成一般形式．對于總結(jié)的步驟要具體情況具體分析．
練習(xí)P．22中3．
（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.
解：原式可變形為（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．
[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0
即：（5x-4）（x＋8）=0．
5x-4＝0或x＋8＝0．
學(xué)生練習(xí)、板演、評價．教師引導(dǎo)，強化．
練習(xí)：解下列關(guān)于x的方程
6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．
學(xué)生練習(xí)、板演．教師強化，引導(dǎo)，訓(xùn)練其運算的速度．
練習(xí)P．22中4．
（四）總結(jié)、擴展
1．因式分解法的條件是方程左邊易于分解，而右邊等于零，關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識，理論依舊是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零．”
四、布置作業(yè)
教材P．21中A1、2．
教材P．23中B1、2（學(xué)有余力的學(xué)生做）．
2．因式分解法解一元二次方程的步驟是：
（1）化方程為一般形式；
（2）將方程左邊因式分解；
（3）至少有一個因式為零，得到兩個一元二次方程；
（4）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．
但要具體情況具體分析．
3．因式分解的方法，突出了轉(zhuǎn)化的思想方法，鮮明地顯示了“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的過程．
五、板書設(shè)計
12．2用因式分解法解一元二次方程（一）
例1．……例2……
二、因式分解法的步驟
（1）……練習(xí)：……
（2）…………
（3）……
（4）……
但要具體情況具體分析
六、作業(yè)參考答案
教材P．21中A1
（1）x1=-6，x2=-1
（2）x1=6，x2=-1
（3）y1=15，y2=2
（4）y1=12，y2=-5
（5）x1=1，x2=-11，
（6）x1=-2，x2=14
教材P．21中A2略
（1）解：原式可變?yōu)椋海?mx-7）（mx-2）＝0
5mx-7=0或mx-b＝0
又m≠0
（2）解：原式可變形為
（2ax＋3b）（5ax-b）＝0
2ax＋3b＝0
或5ax-b＝0
a≠0
教材P．23中B
1．解：（1）由y的值等于0
得x2-2x-3=0
變形為（x-3）（x＋1）＝0
x-3＝0或x+1=0
x1＝3，x2=-1
（2）由y的值等于-4
得x2-2x-3=-4
方程變形為x2-2x＋1=0
（x-1）2=0
解得x1=x2=1
當(dāng)x=3或x＝-1時，y的值為0
當(dāng)x=1時，y的值等于-4
教材P．23中B2
證明：x2-7xy＋12y2＝0
（一）知識教學(xué)點：
1．了解根的判別式的概念．
2．能用判別式判別根的情況．
（二）能力訓(xùn)練點：
1．培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力．
2．進一步考察學(xué)生思維的全面性．
（三）德育滲透點：
1．通過了解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神．
2．進一步滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法．
二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法
1．教學(xué)重點：會用判別式判定根的情況．
2．教學(xué)難點：正確理解“當(dāng)b2-4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無實數(shù)根．”
3．教學(xué)疑點：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在實數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)b2-4ac＜0時，無解．在高中講復(fù)數(shù)時，會學(xué)習(xí)當(dāng)b2-4ac＜0時，實系數(shù)的一元二次方程有兩個虛數(shù)根．
三、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
在前一節(jié)的“公式法”部分已經(jīng)涉及到了，當(dāng)b2-4ac≥0時，可以求出兩個實數(shù)根．那么b2-4ac＜0時，方程根的情況怎樣呢？這就是本節(jié)課的目標(biāo)．本節(jié)課將進一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三種情況下的一元二次方程根的情況．
（二）整體感知
在推導(dǎo)一元二次方程求根公式時，得到b2-4ac決定了一元二次方程的根的情況，稱b2-4ac為根的判別式．一元二次方程根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也有利于進一步學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容，并且可以解決許多其它問題．
在探索一元二次方程根的情況是由誰決定的過程中，要求學(xué)生從中體會轉(zhuǎn)化的思想方法以及分類的思想方法，對學(xué)生思維全面性的考察起到了一個積極的滲透作用．
（三）重點、難點的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程
1．復(fù)習(xí)提問
（1）平方根的性質(zhì)是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
問題（1）為本節(jié)課結(jié)論的得出起到了一個很好的鋪墊作用．問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節(jié)課的結(jié)論的得出起到了一個推波助瀾的作用．
2．任何一個一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法將
（1）當(dāng)b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（3）當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．
教師通過引導(dǎo)之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？
答：b2-4ac．
3．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號“”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
當(dāng)＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；
當(dāng)＝0時，有兩個相等的實數(shù)根；
當(dāng)＜0時，沒有實數(shù)根．
反之亦然．
注意以下幾個問題：
（1）a≠0，4a2＞0這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況．正確得出三種情況的結(jié)論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊．在這里應(yīng)向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法．
（2）當(dāng)b2-4ac＜0，說“方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數(shù)根”比較好．有時，也說“方程無解”．這里的前提是“在實數(shù)范圍內(nèi)無解”，也就是方程無實數(shù)根”的意思．
4．例1不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
原方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）原方程可變形為
16y2-24y＋9＝0．
＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
原方程有兩個相等的實數(shù)根．
（3）原方程可變形為
5x2-7x+5=0．
＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
原方程沒有實數(shù)根．
學(xué)生口答，教師板書，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．
強調(diào)兩點：（1）只要能判別值的符號就行，具體數(shù)值不必計算出．（2）判別根的情況，不必求出方程的根．
練習(xí)．不解方程，判別下列方程根的情況：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
學(xué)生板演、筆答、評價．
（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設(shè)y＝x-2，判別方程y2＋2y-8=0根的情況，由此判別原方程根的情況．
又不論k取何實數(shù)，≥0，
原方程有兩個實數(shù)根．
教師板書，引導(dǎo)學(xué)生回答．此題是含有字母系數(shù)的一元二次方程．注意字母的取值范圍，從而確定b2-4ac的取值．
練習(xí)：不解方程，判別下列方程根的情況．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
學(xué)生板演、筆答、評價．教師滲透、點撥．
（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
不論m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．
方程無實數(shù)解．
由數(shù)字系數(shù)，過渡到字母系數(shù)，使學(xué)生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值．
（四）總結(jié)、擴展
（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．
①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
當(dāng)＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；
當(dāng)＝0時，有兩個相等的實數(shù)根；
當(dāng)＜0時，沒有實數(shù)根．反之亦然．
（2）通過根的情況的研究過程，深刻體會轉(zhuǎn)化的思想方法及分類的思想方法．
四、布置作業(yè)
教材P．27中A1、2
五、板書設(shè)計
12．3一元二次方程根的判別式（一）
一、定義：……三、例……
…………
二、一元二次方程的根的情況……練習(xí)：……
【教學(xué)目標(biāo)】
【知識目標(biāo)】了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關(guān)概念，并會判斷一組數(shù)是不是某個二元一次方程組的解。
【能力目標(biāo)】通過討論和練習(xí)，進一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析的能力。
【情感目標(biāo)】通過對實際問題的分析，使學(xué)生進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。
【重點】二元一次方程組的含義
【難點】判斷一組數(shù)是不是某個二元一次方程組的解，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。
【教學(xué)過程】
一、引入、實物投影
1、師：在一望無際呼倫貝爾大草原上，一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃力地行走著，老牛喘著氣吃力地說：“累死我了”，小馬說：“你還累，這么大的個，才比我多馱2個”老牛氣不過地說：“哼，我從你背上拿來一個，我的包裹就是你的2倍！”，小馬天真而不信地說：“真的？！”同學(xué)們，你們能否用數(shù)學(xué)知識幫助小馬解決問題呢？
2、請每個學(xué)習(xí)小組討論（討論2分鐘，然后發(fā)言）
這個問題由于涉及到老牛和小馬的馱包裹的兩個未知數(shù)，我們設(shè)老牛馱x個包裹，小馬馱y個包裹，老牛的包裹數(shù)比小馬多2個，由此得方程x-y=2，若老牛從小馬背上拿來1個包裹，這時老牛的包裹是小馬的2倍，得方程：x+1=2(y-1)
師：同學(xué)們能用方程的方法來發(fā)現(xiàn)、解決問題這很好，上面所列方程有幾個未知數(shù)？含未知數(shù)的項的次數(shù)是多少？（含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)項的次數(shù)是1）
師：含有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程
注意：這個定義有兩個地方要注意①、含有兩個未知數(shù)，②、含未知數(shù)的次數(shù)是一次
練習(xí)：（投影）
下列方程有哪些是二元一次方程
+2y=1xy+x=13x-=5x2-2=3x
xy=12x(y+1)=c2x-y=1x+y=0
二、議一議、
師：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含義相同嗎？y呢？
師：由于x、y的含義分別相同，因而必同時滿足x-y=2和x+1=2(y-1)，我們把這兩個方程用大括號聯(lián)立起來，寫成
x-y=2
x+1=2(y-1)
像這樣含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。
如：2x+3y=35x+3y=8
x-3y=0x+y=8
三、做一做、
1、x=6,y=2適合方程x+y=8嗎？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你還能找到其他x,y值適合x+y=8方程嗎？
2、X=5,y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2,y=8呢？
你能找到一組值x,y同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？
適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的解
x=6,y=2是方程x+y=8的一個解，記作x=6同樣，x=5
y=2y=3
也是方程x+y=8的一個解，同時x=5又是方程5x+3y=34的一個解，
y=3
二元一次方程各個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。
四、隨堂練習(xí)、（P103）
五、小結(jié)：
1、含有兩未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)是一次的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解是一個互相關(guān)聯(lián)的兩個數(shù)值，它有無數(shù)個解。
(2)重點、難點分析
重點：本小節(jié)的重點是使學(xué)生學(xué)會用加減法解二元一次方程組.這也是一種全新的知識，與在一元一次方程兩邊都加上、減去同一個數(shù)或同一個整式，或者都乘以、除以同一個非零數(shù)的情況是不一樣的，但運用這項知識(這里也表現(xiàn)為一種方法)，有時可以簡捷地求出二元一次方程組的解，因此學(xué)生同樣會表現(xiàn)出一種極大的興趣.必須充分利用學(xué)生學(xué)會這種方法的積極性.加減(消元)法是解二元一次方程組的基本方法之一，因此要讓學(xué)生學(xué)會，并能靈活運用.這種方法同樣是解三元一次方程組和某些二元二次方程組的基本方法，在教學(xué)中必須引起足夠重視.
難點：靈活運用加減法的技巧，以便將方程變形為比較簡單和計算比較簡便，這也要通過一定數(shù)量的練習(xí)來解決.
2.教法建議
(1)本節(jié)是通過一個引例，介紹了加減法解方程組的基本思想和解題過程.教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生觀察這個方程組中未知數(shù)系數(shù)的特點.通過觀察讓學(xué)生說出，在兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)或在兩個方程中x的系數(shù)相等，讓學(xué)生自己動腦想一想，怎么消元比較簡便，然后引出加減消元法.
(2)講完加減法后，課本通過三個例題加以鞏固，這三個例題是由淺入深的，講解時也要先讓學(xué)生觀察每個方程組未知數(shù)系數(shù)的特點，然后讓學(xué)生說出每個方程組的解法，例題1老師自己板書，剩下的兩個例題讓學(xué)生上黑板板書，然后老師點評.
(3)講解完本節(jié)后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生比較代入法與加減法這兩種方法，這兩種方法雖有不同，但實質(zhì)都是消元，即通過消去一個未知數(shù)，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”.也就是說：
這時學(xué)生對解題方法比較熟悉，但還沒有上升到理論的高度，這時教師應(yīng)及時點撥、滲透化歸轉(zhuǎn)化的思想，并指出這是具有普遍意義的分析問題、解決問題的思想方法.
教學(xué)設(shè)計示例
(第一課時)
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
(一)知識教學(xué)點
1.使學(xué)生掌握用加減法解二元一次方程組的步驟.
2.能運用加減法解二元一次方程組.
(二)能力訓(xùn)練點
1.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
2.訓(xùn)練學(xué)生的運算技巧.
(三)德育滲透點
消元，化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想.
(四)美育滲透點
滲透化歸的數(shù)學(xué)美.
二、學(xué)法引導(dǎo)
1.教學(xué)方法：談話法、討論法.
2.學(xué)生學(xué)法：觀察各未知量前面系數(shù)的特征，只要將相同未知量前的系數(shù)化為絕對值相等的值后即可利用加減法進行消元，同時在運算中注意歸納解題的技巧和解題的方法.
三、重點、難點、疑點及解決辦法
(-)重點
使學(xué)生學(xué)會用加減法解二元一次方程組.
(二)難點
靈活運用加減消元法的技巧.
(三)疑點
如何“消元”，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”.
(四)解決辦法
只要將相同未知量前的系數(shù)化為絕對值相等的值即可利用加減法進行消元.
四、課時安排
一課時.
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片.
六、師生互動活動設(shè)計
1.教師通過復(fù)習(xí)上節(jié)課代入法解二元一次方程組的方法及其解題思想，引入除了消元法還有其他方法嗎?從而導(dǎo)入新課即加減法解二元一次方程組.
2.通過引例進一步讓學(xué)生探究是用代入法還是用加減法解方程組更簡單，讓學(xué)生進一步明確用加減法解題的優(yōu)越性.
3.通過反復(fù)的訓(xùn)練、歸納、再訓(xùn)練、再歸納，從而積累用加減法解方程組的經(jīng)驗，進而上升到理論.
七、教學(xué)步驟
(-)明確目標(biāo)
本節(jié)課通過復(fù)習(xí)代入法從而引入另一種消元的辦法，即加減法解二元一次方程組.
(二)整體感知
加減法解二元一次方程組的關(guān)鍵在于將相同字母的系數(shù)化為絕對值相等的值，即可使用加減法消元.故在教學(xué)中應(yīng)反復(fù)教會學(xué)生觀察并抓住解題的特征及辦法從而方便解題.
(三)教學(xué)過程
1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入
(1)用代入法解二元一次方程組的基本思想是什么?
(2)用代入法解下列方程組，并檢驗所得結(jié)果是否正確.
學(xué)生活動：口答第(1)題，在練習(xí)本上完成第(2)題，一個同學(xué)說出結(jié)果.
上面的方程組中，我們用代入法消去了一個未知數(shù)，將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，從而得到了方程組的解.對于二元一次方程組，是否存在其他方法，也可以消去一個未知數(shù)，達到化“二元”為“一元”的目的呢?這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
【教法說明】由練習(xí)導(dǎo)入新課，既復(fù)習(xí)了舊知識，又引出了新課題，教學(xué)過程中還可以進行代入法和加減法的對比，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)題目的特點選取適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}.
2.探索新知，講授新課
第(2)題的兩個方程中，未知數(shù)的系數(shù)有什么特點?(互為相反數(shù))根據(jù)等式的性質(zhì)，如果把這兩個方程的左邊與左邊相加，右邊與右邊相加，就可以消掉，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解.
解：①+②，得
把代入①，得
學(xué)生活動：比較用這種方法得到的、值是否與用代入法得到的相同.(相同)
上面方程組的兩個方程中，因為的系數(shù)互為相反數(shù)，所以我們把兩個方程相加，就消去了.觀察一下，的系數(shù)有何特點?(相等)方程①和方程②經(jīng)過怎樣的變化可以消去?(相減)
學(xué)生活動：觀察、思考，嘗試用①-②消元，解方程組，比較結(jié)果是否與用①+②得到的結(jié)果相同.(相同)
我們將原方程組的兩個方程相加或相減，把“二元”化成了“一元”，從而得到了方程組的解.像這種解二元一次方程組的方法叫加減消元法，簡稱“加減法”.
提問：①比較上面解二元一次方程組的方法，是用代入法簡單，還是用加減法簡單?(加減法)
②在什么條件下可以用加減法進行消元?(某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù))
③什么條件下用加法、什么條件下用減法?(某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時用加法，系數(shù)相等時用減法)
【教法說明】這幾個問題，可使學(xué)生明確使用加減法的條件，體會在某些條件下使用加減法的優(yōu)越性.
例1解方程組
哪個未知數(shù)的系數(shù)有特點?(的系數(shù)相等)把這兩個方程怎樣變化可以消去?(相減)
學(xué)生活動：回答問題后，獨立完成例1，一個學(xué)生板演.
解：①-②，得
把代入②，得
(1)檢驗一下，所得結(jié)果是否正確?
(2)用②-①可以消掉嗎?(可以)是用①-②，還是用②-①計算比較簡單?(①-②簡單)
(3)把代入①，的值是多少?()，是代入①計算簡單還是代入②計算簡單?(代入系數(shù)較簡單的方程)
練習(xí)：P23l.(l)(2)(3)，分組練習(xí)，并把學(xué)生的解題過程在投影儀上顯示.
小結(jié)：用加減法解二元一次方程組的條件是某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等.
例2解方程組
(1)上面的方程組是否符合用加減法消元的條件?(不符合)
(2)如何轉(zhuǎn)化可使某個未知數(shù)
系數(shù)的絕對值相等?(①×2或②×3)
歸納：如果兩個方程中，未知數(shù)系數(shù)的絕對值都不相等，可以在方程兩邊部乘以同一個適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個方程中有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，然后再加減消元.
學(xué)生活動：獨立解題，并把一名學(xué)生解題過程在投影儀上顯示.
學(xué)生活動：總結(jié)用加減法解二元一次方程組的步驟.
①變形，使某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等.
②加減消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一個未知數(shù)的值，從而得方程組的解.
3.嘗試反饋，鞏固知識
練習(xí)：P231.(4)(5).
【教法說明】通過練習(xí)，使學(xué)生熟練地用加減法解二元一次方程組并能在練習(xí)中摸索運算技巧，培養(yǎng)能力.
4.變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力
(1)選擇：二元一次方程組的解是()
A.B.C.D.
(2)已知，求、的值.
學(xué)生活動：第(1)題口答，第(2)題在練習(xí)本上完成.
【教法說明】第(1)題可以用解方程組的方法得解，也可以把四組值分別代入原方程組中，利用檢驗的方法解，這道題能訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性;第(2)題通過分析，學(xué)生可得方程組從而求得、的值.此題可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的綜合能力.
(四)總結(jié)、擴展
1.用加減法解二元一次方程組的思想：
2.用加減法解二元一次方程組的條件：某一未知數(shù)系數(shù)絕對值相等.
3.用加減法解二元一次方程組的步驟：
八、布置作業(yè)
(一)必做題：P241.
(二)選做題：P25B組1.
(三)預(yù)習(xí)：下節(jié)課內(nèi)容.
（二）過程與方法：在一元二次方程根與系數(shù)的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察思考、歸納、概括能力，在運用關(guān)系、解決問題過程中，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力，滲透整體的數(shù)學(xué)思想。
（三）情景態(tài)度，通過學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)科學(xué)探究精神。
教學(xué)重點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索及運用。
教學(xué)難點：如何運用會一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
教學(xué)過程設(shè)計：
一、復(fù)習(xí)一元二次方程的一般形式及求根方式
問題1：一元二次方程的根與方程中的系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系。
師生活動：學(xué)生回顧一元二次方程的一般形式及求根公式。
設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)一元二次方程的一般形式及求根公式，使學(xué)生進一步明確求根公式是方程的根與系數(shù)之間的一種關(guān)系，并為本節(jié)課根與系關(guān)系的推導(dǎo)作準(zhǔn)備。
二、猜想二次項系數(shù)為1時根與系數(shù)的關(guān)系
問題2：若一元二次方程的兩根為x1、x2，則有x-x1=0且x-x2=0，那么（x-x1）（x-x2）=0（x1、x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+bx+c=0的形式，將能看出x1、x2與b、c之間的關(guān)系嗎？
師生活動：學(xué)生獨立思考得出方程兩根為x1、x2，通過將（x-x1）（x-x2）=0的左邊展開化為一般形式得到方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0這個方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為b=-（x1+x2），常常數(shù)項為c=x1x2，學(xué)生獨立觀察后并討論后，發(fā)現(xiàn)兩根之和x1+x2=-b，兩根之積為x1+x2=c。
設(shè)計意圖：通過教師引導(dǎo)和點撥，讓學(xué)生在二次項系數(shù)為1的方程中發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
三、猜想并驗證一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
問題3：一元二次方程ax2+bx+c=0中二次項系數(shù)a未必是1，它的兩個根和積與系數(shù)a有怎樣的關(guān)系呢？
說明：學(xué)生有可能利用問題的猜想通過將一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）轉(zhuǎn)化為x2+x+=0的形式得出猜想：x1+x2= x1x2=。
師生活動：學(xué)生思考后，教師提出如下問題。
教師追問：如何證明兩者之間的關(guān)系呢？
師生活動：由師生共同完成證明過程。
設(shè)x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根所以
x1= x2=
x1+x2=+
x1+x2=-
x1?x2=×
x1?x2=
從而得出一元二次方程的兩個根x1x2。
和系數(shù)a.b.c有如下關(guān)系：
x1+x2=- x1x2=
設(shè)計意圖通過討論讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，明確一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，如果學(xué)生利用二次項系數(shù)為1的情形給出證明，應(yīng)當(dāng)予以肯定。
四、練習(xí)：鞏固根與系數(shù)的關(guān)系
例：根據(jù)一元二次議程的根與系數(shù)有關(guān)系求下列方程兩個根x1、x2的和與積。
（1）x2-6x-15=0 （2）x2+7x-3=0
（3）5x-1=4x2
師生活動：學(xué)生在解決問題時，可能出現(xiàn)先求出一元二次方程的根，再求兩根之和，兩根之積也可能出現(xiàn)根與系數(shù)關(guān)系，在（3）是可能沒有整理成一般形式，教師要及時引導(dǎo)學(xué)生訂正。注意學(xué)生運用韋達定理時必須把一元二次方程化成一般形式。ax2+bx+c=0（a≠0）
設(shè)計意圖：加強對一元二次方程根與系數(shù)的認識，并進一步熟悉根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。
練習(xí)：不解方程求下列方程面后根和與積
（1）x2-3x=15 （2）3x2+2=1-4x
（3）5x2-1=4x2+x （4）2x2-x-2=3x+1
師生活動：四名學(xué)生板書，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡視，指導(dǎo)然后小組交流，并評價。鼓勵學(xué)生大膽做，不要怕出錯，出錯后馬上糾正。
設(shè)計意圖：讓學(xué)生進一步鞏固對一元二次方程的根與系數(shù)的認識。
五、小結(jié)：教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答下列問題
（1）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是什么？
（2）我們是如何得到根與系數(shù)關(guān)系的。
設(shè)計意圖：通過小結(jié)與學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容把握本節(jié)課的核心是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并體驗教學(xué)活動充滿著探索性與創(chuàng)造性。
六、目標(biāo)檢測設(shè)計
求下列方程兩個根的和與積。
1.x2-4x+7=10
2.5x2-2x=x+3
問題是數(shù)學(xué)的心臟。對問題的高度重視是我國乃至世界數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要傳統(tǒng)，雖然在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力十分重要這一點上早就達成了共識，課程改革已深入開展多年，以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)理念已深入人心，但是廣大一線教師依然把研究重點放在提問技巧性上，在問題指向性和精確性上下功夫，為了“牽引”而“問”，真正“為了不教”而“問”，為了“不問”而“問”的研究還很少。而且由于缺乏整體架構(gòu)與布局，教師的著眼點更多地局限在知識分解上，因此呈現(xiàn)的問題依然是“花費較短時間的即時思考型問題”，學(xué)生被動獲取知識的情況始終無法從根本上得到改變。
所謂“大問題”，是指根據(jù)學(xué)生心理特點、學(xué)習(xí)經(jīng)驗及學(xué)習(xí)困惑點，對課程關(guān)系、問題引導(dǎo)、學(xué)習(xí)方式等多方面進行全面處理，以求最大限度讓學(xué)生在“四基”方面得到提高的質(zhì)量高、外延大、數(shù)量精且有一定挑戰(zhàn)性的問題。“大問題”具有以下特點：1.關(guān)注問題的“質(zhì)”，問題必須觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)；2.具有一定的開放性，給學(xué)生獨立思考與主動探究留下充分探究空間；3.照顧不同層面學(xué)生，關(guān)注不同學(xué)生差異發(fā)展；4.生成大量新問題，是一只“會下金蛋的老母雞”。下面以一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系一課教學(xué)為例，就“如何利用‘大問題’導(dǎo)學(xué)層層推進課堂，同時將課堂還給學(xué)生”這一主題進行初步探討。
一、以“大問題”導(dǎo)出課題
心理學(xué)認為需要是人活動的基本動力和源泉，動機是需要的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機。在課堂教學(xué)中主要通過“創(chuàng)設(shè)問題情境”以激發(fā)學(xué)生求知欲?！皠?chuàng)設(shè)問題情境”就是在新內(nèi)容和學(xué)生求知心理之間制造一種“不協(xié)調(diào)”，把學(xué)生引人一種與問題有關(guān)的情境過程中。這個過程就是不協(xié)調(diào)―探究―深思―發(fā)現(xiàn)―解決問題的過程。“不協(xié)調(diào)”必須有設(shè)疑，把需要解決的課題有意識地、巧妙地寓于“大問題”之中，在他們心理上造成一種懸念，從而使學(xué)生的注意、記憶、思維凝聚在一起，達到智力活動的最佳狀態(tài)。
在一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系一課中，筆者上課開始就提出這樣大問題1：以一元二次方程x2-2根號5+根號10=0的兩根為長和寬的長方形面積是多少？學(xué)生計算發(fā)現(xiàn)雖然計算出一元二次方程的兩根可以得到長方形長和寬進而得到長方形的面積，但是計算量比較大。這時筆者適時追問引出課題：一元二次方程的根的個數(shù)與系數(shù)有關(guān)；如果有根那么每一個根與系數(shù)之間有關(guān)系，那么這個問題中要求的兩根之積與系數(shù)有沒有直接的關(guān)系呢？能不能根據(jù)一元二次方程的系數(shù)直接求出兩根之積？這就是本節(jié)課我們要探究的課題“一元二次方程兩根與系數(shù)之間的關(guān)系”。通過以上大問題以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生探索欲望（引起好奇），營造讓學(xué)生主動觀察、思考、探索的氛圍，同時為本節(jié)課指明探究方向。
二、以“大問題”開展數(shù)學(xué)探究活動
從新課程標(biāo)準(zhǔn)來看，數(shù)學(xué)探究活動的目的是通過對某些數(shù)學(xué)現(xiàn)象、結(jié)論或規(guī)律等數(shù)學(xué)問題的探討、研究，不僅使學(xué)生理解和掌握基本數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法，而且為學(xué)生提供充分的數(shù)學(xué)活動機會，促進學(xué)生積極主動進行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動；不僅使學(xué)生在探究活動過程中獲得廣泛數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，積累有效的學(xué)習(xí)策略，還激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，樹立學(xué)生學(xué)習(xí)自信心；不僅使學(xué)生在探究活動過程中提高提出問題、分析問題、解決問題的能力，而且提高學(xué)生思維水平，培養(yǎng)學(xué)生問題意識、合作意識、責(zé)任意識和創(chuàng)新意識。沒有明確的活動目的就不可能有良好的活動效果。所以只有教師明確數(shù)學(xué)探究活動的真正目的，才能收到明顯的探究效果。
一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系一課的教學(xué)目標(biāo)是：學(xué)生完整經(jīng)歷一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察思考、歸納概括的能力；經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。為此，提出這樣的大問題：請確定2個實數(shù)，寫出以這兩個數(shù)為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）。將兩個根經(jīng)過和差積商等運算組合后，哪種組合與系數(shù)有什么明顯關(guān)系？請證明你的猜想。
大問題有以下幾個優(yōu)點：1.將活動表格化，可以讓學(xué)生對整節(jié)課研究方法更加明確，避免傳統(tǒng)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的教師在課堂中一步步牽著學(xué)生往前走的現(xiàn)象，將課堂還給學(xué)生，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)大有益處；2.在探究這個大問題的過程中，不同層次學(xué)生都有不同發(fā)展：基礎(chǔ)知識差一些的學(xué)生通過這個大問題鞏固了解一元二次方程的基礎(chǔ)知識，能力一般的同學(xué)不僅能通過這個大問題鞏固了解一元二次方程的基礎(chǔ)知識，還能掌握已知兩根如何快速寫出對應(yīng)的一元二次方程的方法；能力強的學(xué)生通過這個大問題體會到研究事物規(guī)律的一般方法：“特殊”到“一般”；3.這個大問題還有延展性，讓學(xué)生的思維更加開闊，學(xué)生不僅研究兩根的和差積商，還研究其他兩根與系數(shù)之間的關(guān)系；4.大問題為師生互動、生生互動提供了很好的話題，為課堂生成鋪平了道路。
三、以“大問題”深化和延伸課堂
在教學(xué)過程中，教師為了讓學(xué)生能夠從多角度、多層次、多方面理解某一知識點，可以將與這一知識點有關(guān)的各種變式列舉出來。由于題目的形式或背景發(fā)生了變化，賦予題目新的活力，能激發(fā)學(xué)生主動積極的思考問題，從不同的角度把握知識的內(nèi)涵，讓他們在迷霧中仍能認清廬山真面目，從而培養(yǎng)了他們的觀察和分析能力。
例如，在學(xué)習(xí)配方法解一元二次方程時，有一類題型是要求判斷代數(shù)式的取值范圍。如證明 2x2－6x＋5的值恒大于零。教師示范該題的證明方法后，可以出以下的變式題：證明①－10y2＋5y－4；②a2＋4b2－a＋4b＋■的值是非負數(shù)；③不論x,y為什么實數(shù)，代數(shù)式x2 ＋y2＋2x－4y＋7的值（ ）。A.不小于2；B.不小于7；C.可以為任何實數(shù)；D.為負數(shù)。通過這樣的變式訓(xùn)練，能使學(xué)生的解題思路開闊，思維靈活，而不是死死地拘泥于一種形式，能從多角度理解這一知識點，抓住問題的本質(zhì)，加深對問題的理解，培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力，提高學(xué)習(xí)的效率。
二、不同的題型，相同的解題思想方法，激發(fā)了學(xué)生的靈感
有時題目考查的知識不同，但所用的思想方法相同，說明了數(shù)學(xué)知識并不是孤立存在的，而是存在某些內(nèi)在的聯(lián)系和規(guī)律。例如，在初中數(shù)學(xué)中，分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等幾乎滲透于各個章節(jié)中，這是數(shù)學(xué)的精髓所在，教師在教學(xué)過程中需要滲透這些思想方法。而且教師應(yīng)從整體把握數(shù)學(xué)知識，適當(dāng)?shù)貙χR進行聯(lián)想與拓展，展示知識的豐富性，解題的靈活性、技巧性。這樣不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且提高了他們的分析與解決問題的能力，鍛煉了他們的思維能力。
如，已知線段AB＝10cm，M為AB的中點，AB所在的直線上有一點P，N為AP的中點，若MN＝1.5cm，求線段AP的長。教師可以要求學(xué)生先練習(xí)，估計許多學(xué)生都只會考慮點P在線段AB上的情形，而忽略點P也可能在AB的延長線上（不可能在BA的延長線上）。此時教師再點明遺漏之處，必定會讓學(xué)生茅塞頓開，收到事半功倍的效果。
如，一次函數(shù)y＝■x＋4分別交x軸、y軸于A、 B兩點，C為x軸上的一點，且ABC為等腰三角形，求點C的坐標(biāo)。由于ABC為等腰三角形，學(xué)生們可能會考慮分類討論的思想方法，但是總有學(xué)生考慮不周全，出現(xiàn)差錯。教師可以點明其頂角可以是∠A、∠B、∠C，需要分三種情況，然后讓學(xué)生自己完成。
雖然是不同的題型，但是都需要用分類討論的思想方法來解決。兩道題目有一定的難度，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生會逐漸打開解題的思路，思維異?；钴S，不斷產(chǎn)生新的靈感和想法，而問題的解決會使學(xué)生充滿了成就感、自豪感，增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
三、 逐步演變，形成梯度，讓學(xué)生在挑戰(zhàn)中拓展思維
由淺入深，由易到難，循序漸進，讓學(xué)生在挑戰(zhàn)中拓展思維，引導(dǎo)他們向知識的深度和廣度發(fā)展，從而正確地理解概念的內(nèi)涵和外延，將不同的知識點有機地聯(lián)系起來，系統(tǒng)地掌握所學(xué)的知識。
一、要求對學(xué)生實行診斷分類，實施目標(biāo)激勵
首先通過在教學(xué)過程中，根據(jù)對學(xué)生的實際情況的了解，以及對學(xué)生的智力、基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)態(tài)度等，將學(xué)生大致分成三種類型：A類：基礎(chǔ)扎實，接受能力強，學(xué)習(xí)方法正確，成績優(yōu)秀的優(yōu)秀生。B類：基礎(chǔ)和智力一般，學(xué)習(xí)比較自覺，有一定的上進心，成績中等左右的中等生；C類： 基礎(chǔ)、智力較差，接受能力不強，學(xué)習(xí)積極性不高，成績欠佳的學(xué)困生。對不同類型的學(xué)生予以不同的要求，對A類學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生是“小綜合、多變化、主動走、促能力”。對B類學(xué)習(xí)中等的學(xué)生是“慢變化、多練習(xí)、小步走、抓反饋”。對C類學(xué)習(xí)困難的學(xué)生是“低起點，補臺階、拉著手、多鼓勵”；并在每次測試后根據(jù)學(xué)生的發(fā)展情況實行階段性調(diào)節(jié)，使學(xué)生處于對其發(fā)展具有最佳影響的層次上，從而增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
二、要求對教材實行目標(biāo)分層，知識分層
按教學(xué)大綱的要求，根據(jù)教材的特點，把每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)分為三個層次；我們備課組在備課時根據(jù)不同類型的學(xué)生，要求達到不同的目標(biāo)。對C類學(xué)困生只要求學(xué)會最基本的最主要的知識；對B類中等生要求在“熟練”上下功夫，注意發(fā)展分析綜合能力；對A類優(yōu)生要求深刻理解，靈活運用。所以在組長分派工作的時候，要求每位老師對自己所負責(zé)該章知識的備課時，教案和學(xué)案一定要做到有梯度，分層次出，盡量避免出現(xiàn)廢題。
例如在初三《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》復(fù)習(xí)課教學(xué)中，把這節(jié)課的目標(biāo)分為如下三個層次：
層次I：（C類學(xué)困生掌握）
1、記住一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；
2、在教師指導(dǎo)下能運用它解由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與系數(shù)；
層次Ⅱ：（B類中等生掌握）
1、掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；
2、能運用它解由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與系數(shù)；
3、求關(guān)于一元二次方程兩根的代數(shù)式的值；
層次Ⅲ：（A類優(yōu)秀生掌握）
運用學(xué)過的知識解決與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系有關(guān)的問題。這樣，不但使優(yōu)秀生“吃得飽”，“吃得好”，也能讓學(xué)困生不會因知識太難而厭煩，從而產(chǎn)生害怕數(shù)學(xué)的情緒。讓不同類型的學(xué)生都能看到希望，樹立信心，使每位學(xué)生都能形成盡心竭力，自覺學(xué)習(xí)的心理。
三、教學(xué)過程實行分類導(dǎo)學(xué)，激發(fā)興趣
在教學(xué)中，我們對各類學(xué)生進行推進的目標(biāo)是：鞏固A類優(yōu)生，提高B類中等生，鼓勵并幫助C類學(xué)困生。具體做法是：
1、分類施教，突破難點。
由于學(xué)生的知識水平起點不同，理解接受能力差異大，大面積的學(xué)困生對課本上的例題、習(xí)題感到無從人手。為了扭轉(zhuǎn)這種局面，我們在課堂教學(xué)中，對例題實行分類講解，做到講重點，講核心，講疑點，那些講了學(xué)生聽不明的不講，學(xué)生會的不講，講了不會的也不講。
2、分類練習(xí)，多設(shè)臺階。
教師在教學(xué)活動中，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的本領(lǐng)或?qū)W會怎樣學(xué)習(xí)，遠比之傳授知識更重要，為了實現(xiàn)這個目標(biāo)，我通過加強課堂練習(xí)來提高學(xué)生的解題能力。為了讓每個類型的學(xué)生在課堂內(nèi)都能聽得懂，學(xué)得到，我們采用了題組練習(xí)法，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，技能、方法和思想溶于不同層次的題組中，讓學(xué)生在解答不同層次的題組，接受、掌握、鞏固數(shù)學(xué)的概念、定理、公式，進一步總結(jié)規(guī)律，這樣做，使在課堂上“人人有事做，事事有人做，人人在做事，人人有成功”。
在教學(xué)過程中，我們堅持做到：第一：面向B類中等生，兼顧A類優(yōu)秀生與C類學(xué)困生。第二：講授的習(xí)題要有啟發(fā)性和思考性，不考的不講，可講可不講的一般不講。
四、分類輔導(dǎo)，培優(yōu)扶差
